Pensieve header: Attempting to find the Gassner+ representation. Continued pensieve://2016-06/.

The terms to understand:

({{a[f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])],1,h∞]->a[f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])],1,h∞]}, {a[f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])],2,h∞]->a[(E^(Subscript[b, 1])) f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])],2,h∞]+a[-(((-1+(E^(Subscript[b, 1]))) f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])] (Subscript[b, 2]))/(Subscript[b, 1])),1,h∞]+
ao[((f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])] (-1+(E^(Subscript[b, 1]))-(E^(Subscript[b, 1])) (Subscript[b, 2]))+(-1+(E^(Subscript[b, 1]))) (Subscript[b, 2]) (Derivative[0,1][f][(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])]-Derivative[1,0][f][(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2])]))/(Subscript[b, 1])),1,h∞]}})

(Subscript[σ, i_,j_]):=ReplaceAll[{f_.(Subscript[v, j]):>f(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[v, j])+((Subscript[t, i])(∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j])(∂_(Subscript[t, j]))f) (Subscript[α, i,j])(Subscript[w, i])+f (Subscript[β, i,j])(Subscript[w, i]), (Subscript[w, j]):>(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[w, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[w, j])}]

lhs=({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3]),(Subscript[t, 1])(Subscript[v, 1]),(Subscript[t, 2])(Subscript[v, 1]),(Subscript[t, 3])(Subscript[v, 1]),(Subscript[t, 1])(Subscript[v, 2]),(Subscript[t, 2])(Subscript[v, 2]),(Subscript[t, 3])(Subscript[v, 2]),(Subscript[t, 1])(Subscript[v, 3]),(Subscript[t, 2])(Subscript[v, 3]),(Subscript[t, 3])(Subscript[v, 3])})//(Subscript[σ, 1,2])//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 2,3])//Expand

rhs=({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3]),(Subscript[t, 1])(Subscript[v, 1]),(Subscript[t, 2])(Subscript[v, 1]),(Subscript[t, 3])(Subscript[v, 1]),(Subscript[t, 1])(Subscript[v, 2]),(Subscript[t, 2])(Subscript[v, 2]),(Subscript[t, 3])(Subscript[v, 2]),(Subscript[t, 1])(Subscript[v, 3]),(Subscript[t, 2])(Subscript[v, 3]),(Subscript[t, 3])(Subscript[v, 3])})//(Subscript[σ, 2,3])//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 1,2])//Expand

lhs-rhs  //  Simplify

(Subscript[β, 1,2])-(Subscript[β, 1,3])+(Subscript[t, 2]) ((Subscript[α, 1,2])-(Subscript[β, 1,2])+(Subscript[β, 1,3]))+(Subscript[β, 2,3])-(Subscript[t, 1]) (Subscript[β, 2,3]) /. {(Subscript[α, i_,j_]):>α[(Subscript[t, i]),(Subscript[t, j])],(Subscript[β, i_,j_]):>β[(Subscript[t, i]),(Subscript[t, j])]}

D[β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]-β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])]+(Subscript[t, 2]) (α[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]-β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])])+β[(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])]-(Subscript[t, 1]) β[(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])], (Subscript[t, 3])] // Simplify

(((-1+(Subscript[t, 2])) Derivative[0,1][β][(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])]-(-1+(Subscript[t, 1])) Derivative[0,1][β][(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])])/((-1+(Subscript[t, 2]))(-1+(Subscript[t, 1])))) // Apart

β[x_,y_] := γ[y](x-1)+δ[x]

D[β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]-β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])]+(Subscript[t, 2]) (α[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]-β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])])+β[(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])]-(Subscript[t, 1]) β[(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])], (Subscript[t, 3])] // Simplify

Solve[β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]-β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])]+(Subscript[t, 2]) (α[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]-β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+β[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])])+β[(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])]-(Subscript[t, 1]) β[(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])]==0, α[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]]

(lhs-rhs  /. {(Subscript[α, i_,j_]):>((Subscript[t, i])-1), (Subscript[β, i_,j_]):>(Subscript[t, i])})//  Simplify

lhs=({f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])})//(Subscript[σ, 1,2])//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 2,3])//Simplify

rhs=({f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])})//(Subscript[σ, 2,3])//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 1,2])//Simplify

(lhs-rhs  /. {(Subscript[α, i_,j_]):>((Subscript[t, i])-1), (Subscript[β, i_,j_]):>(Subscript[t, i])})//  Simplify