Pensieve header: One-Co computations scavenging base for abc.nb.

The bracket

Generalities

CF[expr_] := expr /. {
a[f_,i_,j_] :> Interpretation[StringForm["a[``,````]",f,i,j], a[f,i,j]],
γ[f_,i_,j_] :> Interpretation[StringForm["γ[``,````]",f,i,j], γ[f,i,j]],
γ[f_,i_,j_,k_] :> Interpretation[StringForm["γ[``,``````]",f,i,j,k], γ[f,i,j,k]],
γa[f_,i_,j_,k_,l_] :> Interpretation[StringForm["γa[``,````````]",f,i,j,k,l], γa[f,i,j,k,l]]
}

Specific Brackets

tests={β[f[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]], γ[1,i,j], γ[1,i,k],  γ[1,i,l], γ[1,j,k], γ[1,j,l],  γ[1,k,l], γ[1,j,l,m], γ[1,i,j,l], γ[1,i,k,l], γ[1, k,l,m], γ[1,j,k,l], γ[1,i,j,k], a[1,j,k], a[1,j,l], a[1,i,k], a[1,i,j], a[1,k,l], a[1,l,m], γa[1,j,k,j,l]};
shows=Complement[tests, {γ[1,i,l], γ[1,j,l],γ[1,j,l,m],a[1,j,k],a[1,l,m]}];

ColumnForm[(#->B[a[1,j,k],#])& /@ shows] // CF

Testing Jacobi and Anti-Symmetry

DeleteCases[
Flatten[Outer[
Jacobi,
FormalPlusBasis[4,f],
FormalPlusBasis[4,g],
FormalPlusBasis[4,h]
]],
0]

The Adjoint action

Ad[a[t_,j_,k_]][a[1,j_,k_]] /; FreeQ[t,(Subscript[b, _])] := a[1,j,k];

Ad[a[t_,j_,k_]][a[1,j_,l_]] /; DQ[j,k,l]∧FreeQ[t,(Subscript[b, _])] := a[1,j,l]+γ[t,j,k,l]+γa[((1-(E^(-t (Subscript[b, j])))-t (Subscript[b, j]))/(Subscript[b, j]^2)),j,k,j,l];Ad[a[t_,j_,k_]][a[1,i_,k_]] /; DQ[i,j,k]∧FreeQ[t,(Subscript[b, _])] := a[(E^(-t (Subscript[b, j]))),i,k]+a[(((1-(E^(-t (Subscript[b, j])))) (Subscript[b, i]))/(Subscript[b, j])),j,k]+γa[(((E^(-2 t (Subscript[b, j]))) (Subscript[b, i]) (2 (E^(t (Subscript[b, j]))) t (Subscript[b, j])+1-(E^(2 t (Subscript[b, j])))))/(Subscript[b, j]^3)),j,k,j,k]+γa[(((E^(-2 t (Subscript[b, j]))) ((E^(t (Subscript[b, j]))) (1-t (Subscript[b, j]))-1))/(Subscript[b, j]^2)),j,k,i,k];
Ad[a[t_,j_,k_]][a[1,i_,j_]] /; DQ[i,j,k]∧FreeQ[t,(Subscript[b, _])] := a[1,i,j]+a[1-(E^(-t (Subscript[b, j]))),i,k]+a[((((E^(-t (Subscript[b, j])))-1) (Subscript[b, i]))/(Subscript[b, j])),j,k]+γ[((1-(E^(-t (Subscript[b, j]))))/(Subscript[b, j])),i,j,k]+γa[(((Subscript[b, i]) (1-2 (E^(-t (Subscript[b, j]))) t (Subscript[b, j])-(E^(-2 t (Subscript[b, j])))))/(Subscript[b, j]^3)),j,k,j,k]+γa[(((E^(-t (Subscript[b, j])))+t (Subscript[b, j])-1)/(Subscript[b, j]^2)),i,j,j,k]+γa[(((E^(-t (Subscript[b, j])))+t (Subscript[b, j])-1)/(Subscript[b, j]^2)),i,k,j,k]+γa[(((E^(-2 t (Subscript[b, j]))) (1+(E^(t (Subscript[b, j]))) (-1+t (Subscript[b, j]))))/(Subscript[b, j]^2)),j,k,i,k];
Ad[a[t_,j_,k_]][a[1,k_,l_]] /; DQ[j,k,l]∧FreeQ[t,(Subscript[b, _])] := a[(E^(t (Subscript[b, j]))),k,l]+a[(((1-(E^(t (Subscript[b, j])))) (Subscript[b, k]))/(Subscript[b, j])),j,l]+γ[((t (Subscript[b, j]) (Subscript[b, k])+(1-(E^(t (Subscript[b, j]))) )((Subscript[b, j])+(Subscript[b, k])))/(Subscript[b, j]^2)),j,k,l]+γa[((1+(E^(t (Subscript[b, j]))) (t (Subscript[b, j])-1))/(Subscript[b, j]^2)),j,k,k,l]+γa[(((E^(-t (Subscript[b, j])))(Subscript[b, j])+(E^(t (Subscript[b, j]))) ((Subscript[b, j])+2 (Subscript[b, k])-t (Subscript[b, j]) (Subscript[b, k]))-2 (Subscript[b, j])-2 (Subscript[b, k])-t (Subscript[b, j]) (Subscript[b, k]))/(Subscript[b, j]^3)),j,k,j,l];
Ad[a[t_,j_,k_]][a[1,l_,m_]] /; DQ[j,k,l,m]∧FreeQ[t,(Subscript[b, _])] := a[1,l,m];

Ad[x_][y_] := (Print["Ad not yet defined on ", {x,y}]; y);

Print[CF[#->Ad[a[t,j,k]][#]]]& /@ shows;

Verifying R3

VerifyR3 /@ {a[f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[b, 4])],1,4], a[f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[b, 4])],2,4], a[f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[b, 4])],3,4]}