{x1,x2,x3}={a[f[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[b, 4])],1,2],a[g,2,3],a[h,3,4]}

Jacobi@@{x1,x2,x3}

B[x1,B[x2,x3]]

B[x2,B[x3,x1]]

B[x3,x1]

B[x2,γ[h (Subscript[b, 1]) (Derivative[0,0,0,1][f][(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[b, 4])]-Derivative[0,0,1,0][f][(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[b, 4])]),3,2,4]]