Pensieve header: Attempted unitarity for the two-variable version of the Gassner invariant.

Definitions.

(Subscript[U, i_])[t_, s_] := ReplacePart[
IdentityMatrix[n],
{{i,i}->1-s, {i,i+1}->1,
{i+1,i}->t, {i+1,i+1}->0}
];
(Subscript[Uinv, i_])[t_,s_] := Inverse[(Subscript[U, i])[t,s]];
Ω[τ___] :=  Table[
Which[i<j, 0,i==j, -((((Subscript[t, {τ}[[j]]])-1))/(Subscript[t, {τ}[[j]]])),i>j, ((((Subscript[t, {τ}[[j]]])-1)((Subscript[t, {τ}[[i]]])-1))/(Subscript[t, {τ}[[i]]]))],
{i,n}, {j,n}];
(OverBar[X_]) := X /. (Subscript[t, i_]):>1/(Subscript[t, i]);

The named matrices.

n=5; MatrixForm /@ Simplify /@ {(Subscript[U, 3])[(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, 4])], (Subscript[Uinv, 3])[(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, 4])]}

n=3; MatrixForm /@ Simplify /@ {Ω[2,3,1], Inverse[Ω[2,3,1]]}

n=3; Ω[1,2,3]// MatrixForm// TeXForm

n=5; MatrixForm /@ Simplify /@ {Ω[1,2,3,4,5], Inverse[Ω[1,2,3,4,5]]}

The R3 move  .

n=3; MatrixForm /@ Simplify /@ {(Subscript[U, 1])[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])].(Subscript[U, 2])[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])].(Subscript[U, 1])[(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])], (Subscript[U, 2])[(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])].(Subscript[U, 1])[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 3])].(Subscript[U, 2])[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]}

The unitarity property for the generators.

n=5; γ=(Subscript[U, 3])[(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, 4])];
MatrixForm /@ FullSimplify /@ {t1=Ω[1,2,4,3,5].Inverse[γ], t2=Transpose[(OverBar[γ])].Ω[1,2,3,4,5], t1==t2}

n=5; γ=(Subscript[Uinv, 3])[(Subscript[t, 4]),(Subscript[t, 3])];
MatrixForm /@ FullSimplify /@ {t1=Ω[1,2,4,3,5].Inverse[γ], t2=Transpose[(OverBar[γ])].Ω[1,2,3,4,5], t1==t2}

The braid .

n=4; MatrixForm[(Subscript[γ, 0])=(Subscript[U, 1])[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])].(Subscript[Uinv, 3])[(Subscript[t, 4]),(Subscript[t, 3])].(Subscript[U, 2])[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 4])]]

The unitarity property for (Subscript[b, 0]).

MatrixForm /@ Simplify /@ {t1=Ω[2,4,1,3].Inverse[(Subscript[γ, 0])], t2=Transpose[(OverBar[(Subscript[γ, 0])])].Ω[1,2,3,4],t1==t2}