U[i_,j_] := ReplacePart[IdentityMatrix[3], {
{i,i}->1, {i,j}->0,
{j,i}->1-(Subscript[t, j]), {j,j}->(Subscript[t, i])
}]

U[1,2][[1;;2,1;;2]] // MatrixForm

MatrixForm /@ Simplify  /@ {U[1,2].U[1,3].U[2,3], U[2,3].U[1,3].U[1,2]}

Eigensystem[U[1,2][[1;;2,1;;2]]]

Eigensystem[U[1,2][[1;;2,1;;2]] // Transpose]

Inverse[(({{1-(Subscript[t, 1]), 0}, {0, 1-(Subscript[t, 2])}}))].(({{1, 0}, {1-(Subscript[t, 2]), (Subscript[t, 1])}})).(({{1-(Subscript[t, 1]), 0}, {0, 1-(Subscript[t, 2])}})) // Simplify // MatrixForm

V[i_,j_] := ReplacePart[IdentityMatrix[3], {
{i,i}->1, {i,j}->0,
{j,i}->1-x, {j,j}->(Subscript[t, i])
}]

V[1,2][[1;;2,1;;2]] // MatrixForm

MatrixForm /@ Simplify  /@ {V[1,2].V[1,3].V[2,3], V[2,3].V[1,3].V[1,2]}

Eigenvalues[V[1,2][[1;;2,1;;2]]]

Solve[1-x==(-1+x) (-1+x-(Subscript[t, 2])), x]

U[i_,j_] := ReplacePart[IdentityMatrix[3], {
{i,i}->1, {i,j}->0,
{j,i}->1-α (Subscript[t, i])-β (Subscript[t, j]), {j,j}->(Subscript[t, i])
}]

U[1,2][[1;;2,1;;2]] // MatrixForm

MatrixForm /@ Simplify  /@ {U[1,2].U[1,3].U[2,3], U[2,3].U[1,3].U[1,2]}

Eigenvalues[U[1,2][[1;;2,1;;2]]]

SolveAlways[1-α (Subscript[t, 1])-β (Subscript[t, 3])==-(Subscript[t, 2]) (-1+α (Subscript[t, 1])+β (Subscript[t, 3]))+(-1+α (Subscript[t, 1])+β (Subscript[t, 2])) (-1+α (Subscript[t, 2])+β (Subscript[t, 3])), {(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])}]