Pensieve header: Studying closed components in Γ-calculus.

dir=SetDirectory["C:/drorbn/AcademicPensieve/2014-07/MetaCalculi/"];
<< KnotTheory`
<< MetaCalculi-Program.m
ΓSimp=Assuming[(Subscript[T, 1])>0 && (Subscript[T, 2])>0 && (Subscript[T, 3])>0 && (Subscript[T, 4])>0 && (Subscript[T, 5])>0 && (Subscript[T, 6])>0, Simplify[#]]&

tr[a_][Γ[ω_,σ_, λ_]] := Module[{α,θ,ψ,Ξ},
(({{α, θ}, {ψ, Ξ}}))=(({{(∂_((Subscript[t, a]),(Subscript[h, a])))λ, (∂_(Subscript[t, a]))λ}, {(∂_(Subscript[h, a]))λ, λ}}))/.(Subscript[(t|h), a])->0;
Γ[ω(1-α),σ /. (Subscript[h, a])->0,Ξ+ψ*θ/(1-α)]// ΓCollect];

TrB[a_][Γ[ω_,σ_, λ_]] := Module[{α,θ,ψ,Ξ},
(({{α, θ}, {ψ, Ξ}}))=(({{(∂_((Subscript[t, a]),(Subscript[h, a])))λ, (∂_(Subscript[t, a]))λ}, {(∂_(Subscript[h, a]))λ, λ}}))/.(Subscript[(t|h), a])->0;
Γ[ω(1-α),σ /. (Subscript[h, a])->0,(1-α)Ξ+ψ*θ]// ΓCollect];

Cyclicity of tr

n=3; γ0=Γ[ω, (∑_(a=0)^n)(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a]), (∑_(a=1)^n)(∑_(b=1)^n)(Subscript[t, a])(Subscript[h, b])(Subscript[α, 10a+b])]

{γ0 // dm[1,2,1], γ0 // dm[1,2,1] // tr[1]}

{γ0 // dm[2,1,1], γ0 // dm[2,1,1] // tr[1]}

(((Subscript[α, 13]) (Subscript[α, 32]))/(1-(Subscript[α, 12])))+((((((Subscript[α, 13]) (Subscript[α, 22]))/(1-(Subscript[α, 12])))+(Subscript[α, 23])) ((Subscript[α, 31])+(((Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 32]))/(1-(Subscript[α, 12])))))/(1-(Subscript[α, 21])+(((Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 22]))/(-1+(Subscript[α, 12])))))+(Subscript[α, 33])==(((Subscript[α, 23]) (Subscript[α, 31]))/(1-(Subscript[α, 21])))+((((Subscript[α, 13])+(((Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 23]))/(1-(Subscript[α, 21])))) ((((Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 31]))/(1-(Subscript[α, 21])))+(Subscript[α, 32])))/(1-(Subscript[α, 12])+(((Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 22]))/(-1+(Subscript[α, 21])))))+(Subscript[α, 33]) // Simplify

(*Γ[Xp[a_,b_]] :=Γ[(Sqrt[(Subscript[T, a])]), (Subscript[h, a])+(Subscript[h, b])(Subscript[T, a]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b])}.(({{-(Sqrt[(Subscript[T, a])]), ((1-(Subscript[T, b]))/(Sqrt[(Subscript[T, a])]))}, {0, -(1/(Sqrt[(Subscript[T, a])]))}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b])}];
Γ[Xp[a_,b_]] :=Γ[(1/(Sqrt[(Subscript[T, a])])), (Subscript[h, a])+(Subscript[h, b])(Subscript[T, a]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b])}.(({{((-1)/(Sqrt[(Subscript[T, a])])), (((Subscript[T, b])-1)/(Sqrt[(Subscript[T, a])]))}, {0, -(Sqrt[(Subscript[T, a])])}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b])}];*)

{(Subscript[Xm, 5,1])(Subscript[Xm, 6,2])(Subscript[Xp, 3,4])//Γ//dm[1,4,1] // dm[2,5,2] // dm[3,6,3],
 (Subscript[Xp, 6,1])(Subscript[Xm, 2,4])(Subscript[Xm, 3,5])//Γ//dm[1,4,1] // dm[2,5,2] // dm[3,6,3]}

γ0=Xm[11,1]Xm[5,12]Xp[2,13]Xp[14,6]Xp[7,15]Xm[8,4]Xm[16,9]Xp[3,10] // Γ;
γ1=γ0//dm[1,5,1]//dm[2,6,2]//dm[2,7,2]//dm[2,8,2]//dm[2,9,2]//dm[2,10,2]//dm[3,11,3]//dm[3,12,3]//dm[3,13,3]//dm[3,14,3]//dm[3,15,3]//dm[4,16,4]

{γ1 // dm[1,2,1] // tr[1], γ1 // dm[2,1,1] // tr[1]}

1-((1+(Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 3])))/(Subscript[T, 4]))==((-1-(Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 3]))+(Subscript[T, 4]))/(Subscript[T, 4])) // Simplify

{γ1 // dm[1,2,1] // TrB[1], γ1 // dm[2,1,1] // TrB[1]}

Testing the MVA

Z[Γ, Link["L6a4"]]

Z[Γ, Link["L6a4"]] // dL

Z[Γ, Link["L6a4"]] // tr[1] // tr[9]

trZ[L_] := Module[{γ},
γ=Z[Γ, L];
Do[
γ=γ//tr[k],
{k, Most[γ // dL]}];
γ[ω]/((Subscript[T, Last[γ//dL]])-1)]

trZ[Link["L10a4"]]

MultivariableAlexander[Link["L10a4"]][T]

Factor[(((MultivariableAlexander[#][T] /. T[i_] :> (Subscript[T, Skeleton[#][[i,1]]])))/(trZ[#]))]&  /@ AllLinks[{2,8}]

tr in Γbetter

γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, ϕ}, {θ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}]

((γ0 /. Thread[{α,ϕ,θ,Ξ} -> {α,ϕ,θ,Ξ}/ω])//tr[a])

Ξ-((θ ϕ)/(α-ω)) // Simplify

Cyclicity of TrB?

n=3; γ0=Γ[ω, (∑_(a=0)^n)(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a]), (∑_(a=1)^n)(∑_(b=1)^n)(Subscript[t, a])(Subscript[h, b])(Subscript[α, 10a+b])]

{γ0 // dm[1,2,1],γ0 // dm[1,2,1] // tr[1], γ0 // dm[1,2,1] // TrB[1]}

{γ0 // dm[2,1,1], γ0 // dm[2,1,1] // tr[1], γ0 // dm[2,1,1] // TrB[1]}

((((Subscript[α, 23]) ((-1+(Subscript[α, 12])) (Subscript[α, 31])-(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 32]))-(Subscript[α, 13]) ((Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 31])-(-1+(Subscript[α, 21])) (Subscript[α, 32]))+(-1-(Subscript[α, 12]) (-1+(Subscript[α, 21]))+(Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 22])) (Subscript[α, 33]))/(-1+(Subscript[α, 12])))==(((Subscript[α, 23]) ((-1+(Subscript[α, 12])) (Subscript[α, 31])-(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 32]))-(Subscript[α, 13]) ((Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 31])-(-1+(Subscript[α, 21])) (Subscript[α, 32]))+(-1-(Subscript[α, 12]) (-1+(Subscript[α, 21]))+(Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 22])) (Subscript[α, 33]))/(-1+(Subscript[α, 21])))) // Simplify