U[i_,j_] := ReplacePart[IdentityMatrix[3], {
{i,i}->(Subscript[α, 0])+(Subscript[α, 1])(Subscript[t, i])+(Subscript[α, 2])(Subscript[t, j]), {i,j}->(Subscript[β, 0])+(Subscript[β, 1])(Subscript[t, i])+(Subscript[β, 2])(Subscript[t, j]),
{j,i}->(Subscript[γ, 0])+(Subscript[γ, 1])(Subscript[t, i])+(Subscript[γ, 2])(Subscript[t, j]), {j,j}->(Subscript[δ, 0])+(Subscript[δ, 1])(Subscript[t, i])+(Subscript[δ, 2])(Subscript[t, j])
}]

U[1,2].U[1,3].U[2,3] // MatrixForm

U[2,3].U[1,3].U[1,2] // MatrixForm

eqns=Simplify[And @@ Thread[Flatten[U[1,2].U[1,3].U[2,3]] == Flatten[U[2,3].U[1,3].U[1,2]]]]

sols0=Union[Union/@SolveAlways[eqns,{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])}]]

sols1=Union[Union/@SolveAlways[eqns&&((Subscript[α, 0])+(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])==1)&&((Subscript[β, 0])+(Subscript[β, 1])+(Subscript[β, 2])==0)&&((Subscript[γ, 0])+(Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 2])==0)&&((Subscript[δ, 0])+(Subscript[δ, 1])+(Subscript[δ, 2])==1),{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])}]]

sols2=Union[Union/@SolveAlways[eqns&&((Subscript[α, 0])+(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])==1)&&((Subscript[β, 0])+(Subscript[β, 1])+(Subscript[β, 2])==0)&&((Subscript[γ, 0])+(Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 2])==0)&&((Subscript[δ, 0])+(Subscript[δ, 1])+(Subscript[δ, 2])==1)&&((Subscript[α, 0])+(Subscript[γ, 0])==1)&&((Subscript[α, 1])+(Subscript[γ, 1])==0)&&((Subscript[α, 2])+(Subscript[γ, 2])==0)&&((Subscript[β, 0])+(Subscript[δ, 0])==1)&&((Subscript[β, 1])+(Subscript[δ, 1])==0)&&((Subscript[β, 2])+(Subscript[δ, 2])==0),{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])}]]

reds=Solve[((Subscript[α, 0])+(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])==1)&&((Subscript[β, 0])+(Subscript[β, 1])+(Subscript[β, 2])==0)&&((Subscript[γ, 0])+(Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 2])==0)&&((Subscript[δ, 0])+(Subscript[δ, 1])+(Subscript[δ, 2])==1)&&((Subscript[α, 0])+(Subscript[γ, 0])==1)&&((Subscript[α, 1])+(Subscript[γ, 1])==0)&&((Subscript[α, 2])+(Subscript[γ, 2])==0)&&((Subscript[β, 0])+(Subscript[δ, 0])==1)&&((Subscript[β, 1])+(Subscript[δ, 1])==0)&&((Subscript[β, 2])+(Subscript[δ, 2])==0)] // First

Simplify[eqns/.reds]

sols3=Union[Union/@SolveAlways[eqns /. reds,{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])}]]

MatrixForm /@ (U[1,2][[1;;2,1;;2]] /. reds /. sols3)

Inverse[(({{1, (Subscript[δ, 1])-(Subscript[t, 1]) (Subscript[δ, 1])}, {0, 1-(Subscript[δ, 1])+(Subscript[t, 1]) (Subscript[δ, 1])}}))] // MatrixForm

Eigenvalues[(({{1, (Subscript[δ, 1])-(Subscript[t, 1]) (Subscript[δ, 1])}, {0, 1-(Subscript[δ, 1])+(Subscript[t, 1]) (Subscript[δ, 1])}}))]