U1[x_,y_]:=(({{(Subscript[α, x,y]), (Subscript[β, x,y]), 0}, {(Subscript[γ, x,y]), (Subscript[δ, x,y]), 0}, {0, 0, 1}})); U2[x_,y_]:=(({{1, 0, 0}, {0, (Subscript[α, x,y]), (Subscript[β, x,y])}, {0, (Subscript[γ, x,y]), (Subscript[δ, x,y])}}));

U1[1,2].U2[1,3].U1[2,3] // MatrixForm

U2[2,3].U1[1,3].U2[1,2] // MatrixForm

eqns=Simplify[And @@ Thread[Flatten[U1[1,2].U2[1,3].U1[2,3]] == Flatten[U2[2,3].U1[1,3].U2[1,2]]]]

eqns1=Simplify[eqns/. (Subscript[ζ_, i_,j_]):>(Subscript[ζ, 0])+(Subscript[ζ, 1])(Subscript[t, i])+(Subscript[ζ, 2])(Subscript[t, j])]

sols0=Union[Union/@SolveAlways[eqns1,{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])}]]

sols=Union[Union/@SolveAlways[eqns1 /. {(Subscript[α, 0])->0, (Subscript[β, 0])->1, (Subscript[γ, 0])->1, (Subscript[δ, 0])->0},{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])}]]

MatrixForm[(({{(Subscript[α, x,y]), (Subscript[β, x,y])}, {(Subscript[γ, x,y]), (Subscript[δ, x,y])}}))/. (Subscript[ζ_, x_,y_]):>(Subscript[ζ, 0])+(Subscript[ζ, 1])x+(Subscript[ζ, 2])y/. {(Subscript[α, 0])->0, (Subscript[β, 0])->1, (Subscript[γ, 0])->1, (Subscript[δ, 0])->0}] /. sols

Eigenvalues /@ ((({{(Subscript[α, x,y]), (Subscript[β, x,y])}, {(Subscript[γ, x,y]), (Subscript[δ, x,y])}}))/. (Subscript[ζ_, x_,y_]):>(Subscript[ζ, 0])+(Subscript[ζ, 1])x+(Subscript[ζ, 2])y/. {(Subscript[α, 0])->0, (Subscript[β, 0])->1, (Subscript[γ, 0])->1, (Subscript[δ, 0])->0} /. sols)

eqns2=Simplify[eqns/. (Subscript[ζ_, i_,j_]):>(Subscript[ζ, 0])+(Subscript[ζ, 1])((Subscript[t, i])-1)+(Subscript[ζ, 2])((Subscript[t, j])-1)]

sols2=Union[Union/@SolveAlways[eqns2 /. {(Subscript[α, 0])->0, (Subscript[β, 0])->1, (Subscript[γ, 0])->1, (Subscript[δ, 0])->0},{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])}]]

MatrixForm[(({{(Subscript[α, x,y]), (Subscript[β, x,y])}, {(Subscript[γ, x,y]), (Subscript[δ, x,y])}}))/. (Subscript[ζ_, x_,y_]):>(Subscript[ζ, 0])+(Subscript[ζ, 1])(x-1)+(Subscript[ζ, 2])(y-1)/. {(Subscript[α, 0])->0, (Subscript[β, 0])->1, (Subscript[γ, 0])->1, (Subscript[δ, 0])->0}] /. sols2

Eigenvalues /@ ((({{(Subscript[α, x,y]), (Subscript[β, x,y])}, {(Subscript[γ, x,y]), (Subscript[δ, x,y])}}))/. (Subscript[ζ_, x_,y_]):>(Subscript[ζ, 0])+(Subscript[ζ, 1])(x-1)+(Subscript[ζ, 2])(y-1)/. {(Subscript[α, 0])->0, (Subscript[β, 0])->1, (Subscript[γ, 0])->1, (Subscript[δ, 0])->0} /. sols2)