Pensieve Header: An attempt on the ribbon property using Γ-calculus.

dir=SetDirectory["C:/drorbn/AcademicPensieve/2014-05/"];
<< KnotTheory`
<< MetaCalculi/MetaCalculi-Program.m
Format[(Subscript[α, a_,b_]), StandardForm]:= Interpretation[(Subscript[α, 10a+b]), (Subscript[α, a,b])];

n=4; γ0=Γ[ω, (∑_(a=0)^n)(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a]), (∑_(a=1)^n)(∑_(b=1)^n)(Subscript[t, a])(Subscript[h, b])(Subscript[α, a,b])]

γ1= (γ0 // dS[2] // dS[4])

Ov = Xp[o1,1]Xp[o2,2]Xp[o3,3]Xp[o4,4] // Γ // dm[o1,o2,o] // dm[o,o3,o] // dm[o,o4,o]

{t1=Ov**(γ1*Γ[ϵ[o]]), t2=(γ1*Γ[ϵ[o]])**Ov, ocond=Simplify[t1==t2]}

ocond=FullSimplify[FullSimplify[ocond /. {(Subscript[T, o])-> 0, (Subscript[α, a_,n]) :> 1-(∑_(b=1)^(n-1))(Subscript[α, a,b])}] /. ((x_)/(y_))==z_ :> x==y z]

U=Xm[1,u1]Xm[2,u2]Xm[3,u3]Xm[4,u4] // Γ // dm[u1,u2,u]//dm[u,u3,u]//dm[u,u4,u]

{t1=U**(γ0*Γ[ϵ[u]]), t2=(γ0*Γ[ϵ[u]])**U, ucond=Simplify[t1==t2]}

cert = γ1 // dm[1,2,1] // dm[3,4,2]

eqns=(ϵ[1]ϵ[2] // Γ)==(cert /. (Subscript[σ, _])->1) // Simplify

alex=(γ1 // dm[4,3,3] // dm[3,2,2] // dm[2,1,1])[[1]]

FullSimplify[alex, eqns&&ucond&&ocond]

FullSimplify[cert[[1]]]

M=(({{-((Subscript[T, 2])/(-(Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))), ((-1+(Subscript[T, 1]))/(-(Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))), 0}, {-(((Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 2])) (Subscript[T, 3]))/((-(Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (-(Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))), -(((1-2 (Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[T, 3]))/((-(Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (-(Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))), ((-1+(Subscript[T, 2]))/(-(Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))}, {(((Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 2])) (Subscript[T, 2]) (-1+(Subscript[T, 3])))/((-(Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (-(Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))), (((Subscript[T, 2]) (1-2 (Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 3])))/((-(Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (-(Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))), ((1-2 (Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3]))/(-(Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))}}));

Simplify[M /. (Subscript[T, a_]):>1/(Subscript[T, a])] // MatrixForm

Simplify[(M /. (Subscript[T, a_]):>1/(Subscript[T, a])).Transpose[M]] // Simplify // MatrixForm

Simplify[M /. (Subscript[T, a_]):>1/(Subscript[T, a])]/M /. (Subscript[T, _])-> T// Simplify // MatrixForm