Pensieve header: Finding a trees-and-wheels associator using μ-calculus technology.

Finding a Trees-and-Wheels Associator

Preliminaries, Loading V

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\2013-05"];
<< FreeLie.m
$SeriesShowDegree=3; $SeriesCompareDegree = 6;
<< muCalculus.m
<< "C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\2013-04\\WKOSolution10.m"

α=MakeLieSeries[{"1","2"},αs];
β=MakeLieSeries[{"1","2"},βs];
γ=MakeCWSeries[{"1","2"},γs];
V=M[{1->α, 2->β}, γ];
κs[d_, 1] := If[OddQ[d], 0, κs[d]];
κ=MakeCWSeries[{"1"},κs];
Unprotect[C];
C=M[{1->MakeLieSeries[0]}, κ];
{V,C}

{Vinv=V // dA[1] // dA[2], V**Vinv, V**Vinv≡dϵ[1]⋃dϵ[2]}

Φ

Φ=(Vinv // dσ[2,3] // dΔ[1,1,2])**Vinv**(V // dσ[2,3] // dσ[1,2])**(V // dΔ[2,2,3])

Φ[#]@{5}& /@ {1,2,3}

Φ[W]@{6}

Φ[W]@{7}

Φ[W]@{8}

Horizontal and Vertical Flips

{Φ**(Φ // dσ[{1,3}->{3,1}]),
(Φ**(Φ // dσ[{1,3}->{3,1}])) ≡ dϵ[1]⋃dϵ[2]⋃dϵ[3]}

{Φ ** (Φ//dS[1]//dS[2]//dS[3]),
Φ ** (Φ//dS[1]//dS[2]//dS[3]) ≡ dϵ[1]⋃dϵ[2]⋃dϵ[3]}

Φinv=Φ // dσ[{1,3}->{3,1}]

The Pentagon

{lhs=Φ ** (Φ//dσ[3,4]//dΔ[2,2,3]) ** (Φ//dσ[3,4] // dσ[2,3]//dσ[1,2]) ,
rhs=(Φ //dσ[3,4] // dσ[2,3]//dΔ[1,1,2])**(Φ //dΔ[3,3,4]),
lhs≡rhs
}

The Hexagons

{lhs=Θ[1,2,+1]//dσ[2,3]//dΔ[1,1,2],
rhs=Φ**Θ[2,3,+1]**(Φinv//dσ[{2,3}->{3,2}])**Θ[1,3,+1]**(Φ//dσ[{1,2,3}->{3,1,2}]),
lhs≡rhs}

{lhs=Θ[1,2,-1]//dσ[2,3]//dΔ[1,1,2],
rhs=Φ**Θ[2,3,-1]**(Φinv//dσ[{2,3}->{3,2}])**Θ[1,3,-1]**(Φ//dσ[{1,2,3}->{3,1,2}]),
lhs≡rhs}