Pensieve Header: β-calculus with controlled column sums.

βSimplify=Factor;
SetAttributes[βCollect, Listable];
βCollect[B[ω_, σ_, μ_]] := B[
βSimplify[ω], σ,
Collect[μ, _h, Collect[#, _t, βSimplify]&]
];
(* "L" for "Labels" *)
hL[B[ω_, σ_, μ_]] := Union[Cases[{σ}, h[s_] :> s, Infinity]];
tL[β_] := Union[Cases[β, t[s_]|(Subscript[T, s_]) :> s, Infinity]];
dL[β_] := Union[hL[β], tL[β]];
βForm[B[ω_, σ_, μ_]] := Module[
{tails, heads, mat},
tails = tL[B[ω, σ, μ]]; heads = hL[B[ω, σ, μ]];
mat = Outer[βSimplify[Coefficient[μ, h[#1] t[#2]]]&, heads, tails];
PrependTo[mat, t /@ tails];
mat = Join[
{Prepend[h /@ heads, ω]},
Transpose[mat],
{Prepend[D[σ, h[#]]& /@ heads, "1+Σ/ω"]}
];
MatrixForm[mat]
];
βForm[else_] := else /. β_B :> βForm[β];
tm[x_, y_, z_][β_] := β /. {t[x]->t[z], t[y]->t[z], (Subscript[T, x])->(Subscript[T, z]), (Subscript[T, y])->(Subscript[T, z])};
hm[x_, y_, z_][B[ω_, σ_, μ_]] := B[ω, 
h[z]D[σ, h[x]]D[σ, h[y]]+(σ /. h[x]|h[y] -> 0),
h[z](D[μ, h[x]] + D[σ, h[x]]D[μ, h[y]]) + (μ /. h[x]|h[y] -> 0)
] // βCollect;
swapth[y_,x_][B[ω_, σ_, μ_]] := Module[
{α, β, γ, δ},
α = Coefficient[μ, h[x]t[y]];
β = D[μ, t[y]] /. h[x] -> 0;
γ = D[μ, h[x]] /. t[y] -> 0;
δ = μ /. h[x]|t[y] -> 0;
B[ω+α, σ, Plus[
D[σ, h[x]]α*h[x]t[y],
D[σ, h[x]]β*t[y],
γ*h[x],
((ω+α)δ-γ*β)/ω
]] // βCollect
];
dm[x_,y_,z_][β_] := β // swapth[x,y] // hm[x,y,z] // tm[x,y,z];
B /: B[ω1_, σ1_, μ1_]B[ω2_, σ2_, μ2_] := B[ω1*ω2, σ1+σ2, ω2 μ1+ω1 μ2];
(* Cheat *)
Rp[x_, y_] := B[1, h[x]+T*h[y], (T-1)*t[x]h[y]];
Rm[x_, y_] := B[1, h[x]+h[y]/T, (1/T-1)*t[x]h[y]];
(* End cheat *)Rp[x_, y_] := B[1, h[x]+(Subscript[T, x])h[y], ((Subscript[T, x])-1)*t[x]h[y]];
Rm[x_, y_] := B[1, h[x]+h[y]/(Subscript[T, x]), (1/(Subscript[T, x])-1)*t[x]h[y]];
Unprotect[NonCommutativeMultiply];
Format[β_B, StandardForm] := βForm[β];

{Rp[1,2], Rm[1,2]}

Knot[8, 17] is calculated as in 120406 Calculator.nb.

Rm[12,1]

Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1]

(Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1]

((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1]

(((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1]

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1]

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1]

1+Total[{{-1+(1/T)},{-((((-1+T))^3)/(T^2))},{0},{-2+(1/T)+T}}]/(1/T) // Simplify

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11]

t29=((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11]

Collect[t29[[3]] /. t[_] -> 1, _h, Expand]

((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1]

(((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9]

t33=(((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1]

Collect[t33[[3]] /. t[_] -> 1, _h, Expand]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]//dm[1,10,1]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]//dm[1,10,1] // dm[11,15,11]

((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]//dm[1,10,1] // dm[11,15,11] // dm[11,16,11]

t40=((((((Rm[12,1]Rm[2,7] // dm[1,2,1])Rm[8,3] // dm[1,3,1])Rm[4,11] // dm[1,4,1])Rp[16,5] // dm[1,5,1])Rp[6,13] // dm[1,6,1] // dm[1,7,1] // dm[11,12,11] // dm[11,13,11] // dm[1,8,1])Rp[14,9] // dm[11,14,11] // dm[1,9,1])Rp[10,15]//dm[1,10,1] // dm[11,15,11] // dm[11,16,11] // dm[1,11,1]