Pensieve header: β-calculations.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\2012-03"];
<< betaCalculus.m

The Knot-Theoretic Equations

R2, OC, R3 and easy R4

{R[1,2]Ri[3,4],
R[1,2]Ri[3,4] // dm[1,3,1] // dm[2,4,2],
R[1,2]Ri[3,4] // dm[1,3,1] // dm[4,2,2]
}

{
R[1,2]**Ri[1,2],
R[1,3]**R[2,3],
R[1,3]**R[2,3] == R[2,3]**R[1,3] // Simplify,
R[3,1]**R[3,2] == R[3,2]**R[3,1],
R[1,2]**R[1,3]**R[2,3],
R[1,2]**R[1,3]**R[2,3] == R[2,3]**R[1,3]**R[1,2]
}

{
R[3,1]**R[3,2],
R[3,1],
R[3,1] // dΔ[1,1,2],
R[3,1]**R[3,2] == (R[3,1] // dΔ[1,1,2])
}

R[1,2,p1]**R[1,2,p2]==R[1,2,p1+p2] // Simplify

Hard R4

{
R[1,3]**R[2,3],
R[1,3] // dΔ[1,1,2],
R[1,3]**R[2,3] == (R[1,3] // dΔ[1,1,2])
}

{
V0=B[(Subscript[V, 0])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])],Sum[(Subscript[V, 10i+j])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]t[i]h[j], {i,2}, {j,2}]],
R[1,3]**R[2,3]**V0,
V0**(R[1,3] // dΔ[1,1,2]),
eqns1=HardR4[V0]
}

sol=Solve[eqns1&&(Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]==0, (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]]

V1=V0 /. {(Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]->0, (Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]->0, (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]->0, (Subscript[V, 0])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]->1} /. sol[[1]]

Φ and the Pentagon

Φ1=Φ[V1]

Pentagon[Φ1] // Simplify

V2=V0 /. {(Subscript[V, 21])->0, (Subscript[V, 11])->0, (Subscript[V, 22])->0, (Subscript[V, 0])->1}

Φ2=Φ[V2]

Pentagon[Φ[V2]] // Simplify

Θ and the Hexagons

{Θ[1,2],
Θ[2,1]==Θ[1,2] // Simplify,
(R[1,2] // dP[1,23])**R[2,3] == R[2,3] ** (R[1,2] // dP[1,23]),
(R[2,1] // dP[1,23])**R[2,3] == R[2,3] ** (R[2,1] // dP[1,23]) // Simplify,
(R[2,1] // dP[1,23])**Θ[2,3] == Θ[2,3] ** (R[2,1] // dP[1,23])  // Simplify
}

t1=Hexagon[+1, Φ[V1]]

Simplify[t1]

The Twist Equation

V0

eqns2=Simplify[(V0 // dP[2,1])**Θ[1,2]==R[1,2]**V0]

The Non-Degeneracy Equations

eqns3=Simplify[dη[1][V0] == B[1,0] && dη[2][V0] == B[1,0]]

Solving 1-3

eqns13=eqns1&&eqns2&&eqns3

Print /@ Solve[((1-(E^((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))+(((-1+(E^(Subscript[c, 1]))) (1+(Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]))/(Subscript[c, 1]))==(E^(Subscript[c, 1])) (-1+(E^(Subscript[c, 2]))) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&&((1-(E^((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))+(((E^(Subscript[c, 1])) (-1+(E^(Subscript[c, 2]))) (1+(Subscript[c, 1]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]))/(Subscript[c, 2]))==(-1+(E^(Subscript[c, 1]))) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&&(1/((Subscript[c, 1]) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))(-(E^((Subscript[c, 2])/2)) (-1+(E^((Subscript[c, 1])/2))) (Subscript[c, 2]) (1+(Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])+(Subscript[c, 1]) (-1+(E^((Subscript[c, 2])/2))-(E^((Subscript[c, 2])/2)) (Subscript[c, 2]) ((-1+(E^((Subscript[c, 1])/2))) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]-(Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]))+(E^((Subscript[c, 2])/2)) (Subscript[c, 1]^2) (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])==(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&&((-1+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))) (Subscript[c, 1]) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))) (Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))==(((E^(Subscript[c, 1])) (Subscript[c, 1]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]+(-1+(E^(Subscript[c, 1]))) (1+(Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]))/(Subscript[c, 1]))&&((-1+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))) (Subscript[c, 1]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))) (Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))==(Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&&(-1+(E^(Subscript[c, 1]))) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]+(1/((Subscript[c, 2]) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))((Subscript[c, 2]) (-1+(E^((Subscript[c, 1])/2))+(E^((Subscript[c, 1])/2)) (Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])-(E^((Subscript[c, 1])/2)) (-1+(E^((Subscript[c, 2])/2))) (Subscript[c, 1]^2) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]-(E^((Subscript[c, 1])/2)) (Subscript[c, 1]) (-1+(E^((Subscript[c, 2])/2))-(Subscript[c, 2]) ((Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]-(-1+(E^((Subscript[c, 2])/2))) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])))==(E^(Subscript[c, 1])) (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])],{(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]}][[1]];

eqns=((1-(E^((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))+(((-1+(E^(Subscript[c, 1]))) (1+(Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]))/(Subscript[c, 1]))==(E^(Subscript[c, 1])) (-1+(E^(Subscript[c, 2]))) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&&((1-(E^((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))+(((E^(Subscript[c, 1])) (-1+(E^(Subscript[c, 2]))) (1+(Subscript[c, 1]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]))/(Subscript[c, 2]))==(-1+(E^(Subscript[c, 1]))) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&&(1/((Subscript[c, 1]) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))(-(E^((Subscript[c, 2])/2)) (-1+(E^((Subscript[c, 1])/2))) (Subscript[c, 2]) (1+(Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])+(Subscript[c, 1]) (-1+(E^((Subscript[c, 2])/2))-(E^((Subscript[c, 2])/2)) (Subscript[c, 2]) ((-1+(E^((Subscript[c, 1])/2))) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]-(Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]))+(E^((Subscript[c, 2])/2)) (Subscript[c, 1]^2) (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])==(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&&((-1+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))) (Subscript[c, 1]) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))) (Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))==(((E^(Subscript[c, 1])) (Subscript[c, 1]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]+(-1+(E^(Subscript[c, 1]))) (1+(Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]))/(Subscript[c, 1]))&&((-1+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))) (Subscript[c, 1]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]+(E^((1/2) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))) (Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))==(Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&&(-1+(E^(Subscript[c, 1]))) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]+(1/((Subscript[c, 2]) ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))))((Subscript[c, 2]) (-1+(E^((Subscript[c, 1])/2))+(E^((Subscript[c, 1])/2)) (Subscript[c, 2]) (Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])-(E^((Subscript[c, 1])/2)) (-1+(E^((Subscript[c, 2])/2))) (Subscript[c, 1]^2) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]-(E^((Subscript[c, 1])/2)) (Subscript[c, 1]) (-1+(E^((Subscript[c, 2])/2))-(Subscript[c, 2]) ((Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]-(-1+(E^((Subscript[c, 2])/2))) (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])])))==(E^(Subscript[c, 1])) (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])];

Solve[eqns && (eqns /. {(Subscript[c, 1])->(Subscript[c, 2]), (Subscript[c, 2])->(Subscript[c, 1])}) && (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]==(Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], {(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])],(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]}][[1]]

Solve[eqns && (eqns /. {(Subscript[c, 1])->(Subscript[c, 2]), (Subscript[c, 2])->(Subscript[c, 1])}) && (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]==(Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]&& (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]==0&&((Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]==((-1+(E^((Subscript[c, 2])/2)))/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])))), {(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])],(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]}][[1]]

V2=V0/.{(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]->((-1+(E^((Subscript[c, 2])/2)))/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))),(Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]->-(1/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))),(Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]->-(1/((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))),(Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])]->0, (Subscript[V, 0])[__] -> 1}

Φ[V2]

HardR4[V2]

Simplify[{
(R[1,3]**R[2,3]**V2),(V2**(R[1,3] // dΔ[1,1,2]))
}]

Simplify[(V2 // dP[2,1])**Θ[1,2]==R[1,2]**V2]

Simplify[{(V2 // dP[2,1])**Θ[1,2],R[1,2]**V2}]

dη[1][V2]

dη[2][V2]