Pensieve Header: The braid group action that arises in β calculus and the n-strand group.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\2012-01"];
<< betaCalculus.m;
βSimplify = FullSimplify;

ar[1,2]**(((-1)/(1+c[1])) ar[1,2]) // βForm

{β1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,3}, {j,3}]+ar[5,6],
β1  // dm[1,5,1],
β1  // dm[2,6,2],
β1  // dm[1,5,1] // dm[2,6,2]
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

{β1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,3}, {j,3}],
β1 ** ar[1,2],
β1 ** (((-1)/(1+c[1])) ar[1,2])
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

{β1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,3}, {j,3}],
β1 ** ar[1,2],
β1 ** (((-1)/(1+c[1])) ar[1,2])
} /. c[i_] :> c // βForm // ColumnForm

{β1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,3}, {j,3}],
ar[1,2] ** β1,
(((-1)/(1+c[1])) ar[1,2]) ** β1
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

{β1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,3}, {j,3}],
ar[1,2] ** β1,
(((-1)/(1+c[1])) ar[1,2]) ** β1
} /. c[i_] :> c // βForm // ColumnForm

n=1;
{
α1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
β1=W[1]+Sum[(Subscript[β, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
α1**β1
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

n=2;
{
α1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
β1=W[1]+Sum[(Subscript[β, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
α1**β1
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

n=2;
{
α1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
β1=W[1]+Sum[(Subscript[β, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
α1**β1
} /. c[i_] :> c // βForm // ColumnForm

n=3;
{
α1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
β1=W[1]+Sum[(Subscript[β, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
α1**β1
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

n=3;
{
α1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
β1=W[1]+Sum[(Subscript[β, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
α1**β1
} /. c[i_] :> c // βForm // ColumnForm

n=2;
{
α1=Sum[h (Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
β1=Sum[h (Subscript[β, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
Limit[(α1**β1-β1**α1)/h^2, h->0]
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

n=3; βSimplify=Factor;
{
α1=Sum[ϵ (Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
β1=Sum[ϵ (Subscript[β, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
bracket=βCollect[(α1**β1-β1**α1)/ϵ^2] /. ϵ-> 0
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

bracket /. {(Subscript[α, 13])->1, (Subscript[β, 23])->1, (Subscript[α, _])->0, (Subscript[β, _])->0} // βForm

bracket /. {(Subscript[α, 12])->1, (Subscript[β, 23])->1, (Subscript[α, _])->0, (Subscript[β, _])->0} // βForm

bracket /. {(Subscript[α, 12])->1, (Subscript[β, 13])->1, (Subscript[α, _])->0, (Subscript[β, _])->0} // βForm

bracket /. {(Subscript[α, 12])->1, (Subscript[β, 21])->1, (Subscript[α, _])->0, (Subscript[β, _])->0} // βForm

n=3;
{
α1=Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
α1 // dS[1],
βCollect[(ϵ α1 // dS[1])/ϵ] /. ϵ->0
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm

n=3;
{
α1=Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,n}, {j,n}],
α1 // dA[1],
βCollect[(ϵ α1 // dA[1])/ϵ] /. ϵ->0
} /. c[i_] :> (Subscript[c, i]) // βForm // ColumnForm