Pensieve header: Examples for the Da-Nang talk: Double Integration and the trefoil.

Startup

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\DaNang-1905"];
<<"Engine-Speedy.m";
<<"Objects.m";

cm

Λ0=HoldForm[((Subscript[η, i])+(((E^(-(Subscript[α, i])-ϵ (Subscript[β, i]))) (Subscript[η, j]))/(1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i]))))(Subscript[y, k])+((Subscript[β, i])+(Subscript[β, j])+((Log[1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])])/ϵ))(Subscript[b, k])+((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j])+Log[1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])])(Subscript[a, k])+((((E^(-(Subscript[α, j])-ϵ (Subscript[β, j]))) (Subscript[ξ, i]))/(1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])))+(Subscript[ξ, j]))(Subscript[x, k])];
TeXForm[Λ0]
Λ=ReleaseHold[Λ0]

HL[ℰ_] := Style[ℰ, Background -> If[TrueQ@ℰ,,]];
{(OverHat[y])=(({{0, 0}, {ϵ, 0}})),(OverHat[b])=(({{0, 0}, {0, -ϵ}})),(OverHat[a])=(({{1, 0}, {0, 0}})),(OverHat[x])=(({{0, 1}, {0, 0}}))};
HL/@{(OverHat[a]).(OverHat[x])-(OverHat[x]).(OverHat[a])==(OverHat[x]), (OverHat[a]).(OverHat[y])-(OverHat[y]).(OverHat[a])==-(OverHat[y]),(OverHat[b]).(OverHat[y])-(OverHat[y]).(OverHat[b])==-ϵ (OverHat[y]), (OverHat[b]).(OverHat[x])-(OverHat[x]).(OverHat[b])==ϵ (OverHat[x]),(OverHat[x]).(OverHat[y])-(OverHat[y]).(OverHat[x])==(OverHat[b])+ϵ (OverHat[a])}

HL@Simplify@With[{𝔼=MatrixExp},
𝔼[(Subscript[η, i]) (OverHat[y])].𝔼[(Subscript[β, i]) (OverHat[b])].𝔼[(Subscript[α, i]) (OverHat[a])].𝔼[(Subscript[ξ, i]) (OverHat[x])].𝔼[(Subscript[η, j]) (OverHat[y])].𝔼[(Subscript[β, j]) (OverHat[b])].𝔼[(Subscript[α, j]) (OverHat[a])].𝔼[(Subscript[ξ, j]) (OverHat[x])]==𝔼[(OverHat[y])(∂_(Subscript[y, k]))Λ].𝔼[(OverHat[b])(∂_(Subscript[b, k]))Λ].𝔼[(OverHat[a])(∂_(Subscript[a, k]))Λ].𝔼[(OverHat[x])(∂_(Subscript[x, k]))Λ]]

Series[Λ,{ϵ,0,1}]

Some Atoms

(Subscript[PP, _]):=Identity;$k=1; ℏ=γ=1;
Column[(#->(ℰ=ToExpression[#]; Normal@Simplify[ℰ[[1]]+ℰ[[2]]+Log@ℰ[[3]]]))& /@ {"(Subscript[dm, i, j -> k])","(Subscript[dΔ, i -> j, k])","(Subscript[dS, i])","(Subscript[R, i, j])", "(Subscript[P, i, j])"}]

Double Integration

inp=(Subscript[𝔼, {}->{1}])[3(Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),5(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i]);
Table[
HL@TrueQ[
(inp//((Subscript[sΥ, i->1,1,2,2])RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2]) )(Subscript[dϵ, j])≡(inp//ΔΔ//((Subscript[sΥ, i->1,1,2,2])RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2]))],
{ΔΔ,{(Subscript[dΔ, i->i,j]),(Subscript[dΔ, i->j,i])}},{AM,{(Subscript[dm, 2,4->2]),(Subscript[dm, 4,2->2])}},{BM,{(Subscript[dm, 1,3->1]),(Subscript[dm, 3,1->1])}}, {RR,{(Subscript[R, 3,4]),(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[dS, 3])//(Subscript[dS, 3]),(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[dS, 4])//(Subscript[dS, 4])}}
] // MatrixForm

The Trefoil

$k=2; Simplify[(Subscript[R, 1,5])(Subscript[R, 6,2])(Subscript[R, 3,7])(Subscript[(OverBar[C]), 4])(Subscript[(OverBar[Kink]), 8])(Subscript[(OverBar[Kink]), 9])(Subscript[(OverBar[Kink]), 10])//(Subscript[dm, 1,2->1])//(Subscript[dm, 1,3->1])//(Subscript[dm, 1,4->1])//(Subscript[dm, 1,5->1])//(Subscript[dm, 1,6->1])//(Subscript[dm, 1,7->1])//(Subscript[dm, 1,8->1])//(Subscript[dm, 1,9->1])//(Subscript[dm, 1,10->1])]/.(Subscript[v_, 1]):>v